Zahlenspiele am Wochenende: die 40-Punkte-Faustregel

Bundesliga-Experten sagen nicht nur, dass der Ball rund ist und das Spiel 90 Minuten dauert, sondern sie postulieren auch, dass 40 Punkte für den Klassenerhalt reichen.

Diese Weisheit wird so oft kolportiert, dass ich mich schon öfters gefragt habe, ob das eine fundamentale mathematische Gewissheit ist oder eine simple Faustregel. Sprich: reichen die 40 Punkte immer oder einfach nur üblicherweise.

Rechnerisch ist das nicht so leicht zu bewerkstelligen – ein Mathematiker in dem Bereich kann das sicherlich ohne Probleme, aber ich jedenfalls nicht. Zudem kann man bei solchen Dingen schnell in falschen logischen Schlüssen landen. Aber man kann es immer mit etwas simplem Ausprobieren angehen.
Da ich heute ausnahmsweise etwas Zeit habe, dachte ich mir, ich lasse das einfach von einem simplen Programm machen.

Wie simpel es sein darf, ist dabei schwer zu beurteilen. Schließlich ist die Bundesliga nicht die Ziehung der Lottozahlen – bestimmte Spielausgänge sind wahrscheinlicher als andere. So wird eine Mannschaft, die eine halbe Saison nur verloren hat, nicht plötzlich anfangen, jedes Spiel zu gewinnen. Heimspiele werden eher gewonnen als Auswärtsspiele.

Dennoch wollte ich es erst einmal mit dem simpelstmöglichen Modell versuchen. Dieses sieht so aus:

• Das Torverhältnis wird nicht beachtet. Schon alleine mit den drei Spielausgängen Gewonnen-Unentschieden-Verloren ist die Zahl der möglichen Saisonverläufe enorm. Eine Bundesligasaison hat 306 Spiele. Mit nur drei Spielausgängen landet man schon bei 3³⁰⁶ Möglichkeiten. Das entspricht ca. 10¹⁴⁶
• Bei Punktgleichheit bestimmt der Zufall die Platzierung.
• Heimsieg, Auswärtssieg und Unentschieden sind gleich wahrscheinlich.

Ich ließ eine Million Saisons generieren mit einem recht guten Zufallsgenerator (für Programmierer: der libc-Zufallsgenerator stieß schon nach 8192 Saisons an seine Grenzen). Das dürfte auch in der Nähe dessen sein, was bei meiner technischen Lösung (PHP mit einer MySQL-Datenbank) überhaupt noch Sinn macht, denn alleine die Aufzeichnung der Endstände frisst so fast 1 Gigabyte Speicher. Zudem veränderten sich die Zahlen zum Schluss nur noch minimal – es müsste also eine ausreichende Stichprobe sein.

Das Ergebnis: in 80,7 % der Fälle reichten 40 Punkte für den Klassenerhalt. In diesem Szenario hat eine solche Leistung also eine sehr gute Chance – jedoch ist es keine Garantie, denn in knapp 20% der Fälle war mehr erforderlich. Es konnten sogar zwei Fälle gefunden werden, in denen 46 Punkte benötigt wurden. Diese zeichnet sich jedoch dadurch aus, dass die ganze Liga sehr ausgeglichen war und eben nur drei Mannschaften deutlich schlechter aussahen.

Umgekehrt reichten im Schnitt 59,1 Punkte für die Meisterschaft aus. Ab 50,3 Punkte gab es einen UEFA-Cup-Platz, wobei aber bis zu 60 Punkte benötigt werden können.

Während die Durchschnitte und Wahrscheinlichkeiten eine Aussagekraft haben, sind die anderen Angaben nicht absolut. So mag es sein, dass unter den unzähligen Saisonverläufen auch einer ist, der mehr als 46 Punkte für den Klassenerhalt benötigt. Es ist sogar relativ einfach, so einen zu konstruieren: wenn jeder Verein der Liga jeweils 17 Spiele gewinnt und 17 verliert, dann haben alle Vereine der Liga 51 Punkte. Hier wären also nicht einmal 51 Punkte eine Garantie für den Nichtabstieg. Freilich ein rein theoretisches Beispiel.

Um etwas realistischere Werte zu bekommen, habe ich das Verfahren so abgeändert, dass 50% aller Spiele mit Heimsiegen enden, 25% mit Auswärtssiegen und 25% mit Unentschieden. Das ist nicht abwegig, denn laut Wikipedia waren in der Saison 07/08 ganze 46,7% aller Spiele Heimsiege, während jeweils rund ein Viertel der Spiele auf Auswärtssiege und Unentschieden entfielen.

Wenn man diese Verteilung berücksichtigt, sollte die Simulation also etwas realistischer werden. Allerdings lässt sie nach wie vor außer Acht, dass nicht jede Mannschaft eine gleich große Chance hat, einen Auswärtssieg zu erringen.

Wahrscheinlichkeit, mindestens Platz 15 zu erreichen in Abhängigkeit von der Punktzahl.

Dennoch sind die Ergebnisse interessant. Zum Einen steigen die jeweiligen Punktzahlen für die Plätze um einen Punkt an – was kein Wunder ist, weil Unentschieden erheblich seltener werden. Das betrifft auch die 40 Punkte. Sie reichen hier gerade einmal zu einer gut 50%igen Chance auf Klassenerhalt.

Dies widerspricht wiederum den Erfahrungen aus der Realität, die eher weniger als 40 Punkte nahelegen. Um solche Korrekturen anzubringen, braucht man also vermutlich mehr Details über Details und die Dynamik einer Bundesligasaison.

Der Schluss lautet also, dass 40 Punkte keineswegs eine Versicherung sind, aber in jedem Falle eine gute Chance geben.

Wie groß diese ist, ist freilich schwer zu bestimmen. Bis die Bundesliga 1 Million Saisons gespielt haben wird, kann man sich darüber Gedanken machen.

Bundesliga-Experten sagen nicht nur, dass der Ball rund ist und das Spiel 90 Minuten dauert, sondern sie postulieren auch, dass 40 Punkte für den Klassenerhalt reichen. Diese Weisheit wird so...